《什么是數學》_讀書筆記

　　001.它(本書)的目標之一是反擊這樣的思想：“數學不是別的東西，而是從定義和公理推導出來的一組結論，而這些定義和命題除了必須不矛盾外，可以由數學家根據他們的意志隨意創(chuàng)造。”

　　002.數學聯結了心靈感知的抽象世界和完全沒有生命的真實的物質世界。

　　003.“非現實的現實性”

　　004.正規(guī)的數學就像拼寫和語法一樣，是一種對約定規(guī)則的正確應用，有意義的數學就像用來講述有趣故事的報刊雜志;但不像某些報刊雜志，它的故事必須是真實的。最好的數學就應該像文學作品——故事來源于你眼前活生生的生活，致使你把精力和感情投入其中。

　　005.數學教學有時竟演變成空洞的解題訓練。這種訓練雖然可以提高形式推導的能力，但卻不能導致真正的理解與深入的獨立思考。

　　006.數學是一個有機的整體，是科學思考和行動的基礎。

　　007.介紹數學不必過分注重通常例行的做法，也不應采取生硬的教條主義的態(tài)度，因為教條主義會掩蓋動機和目的，妨礙人們作實事求是的努力。

　　008.數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理以及對完美境界的追求。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性。

　　009.毫無疑問，一切數學的發(fā)展在心理上都或多或少地是基于實際的。但理論一旦在實際的需要中出現，就不可避免地會使自身獲得發(fā)展的動力，并超出直接實用的局限。

　　010.希臘數學的理論化和公理化的傾向一直是它的一個重要特點，并且曾經產生過巨大的影響。但是，對這一點我們不能過分強調，因為在古代數學中，應用以及同物理現實的聯系恰恰起了同樣重要的作用。

　　011.事實上，那種創(chuàng)造發(fā)明的要素，那種起指導和推動作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的哲學公式來表達，但是它們卻是任何數學成就的核心，即使在最抽象的領域里也是如此。如果說完善的演繹形式是目標，那么直觀和構作至少也是一種動力。

　　012.只有在以達到有機整體為目標的前提下，以及在內在需求的指引下，自由的思維才能作出有科學價值的成果來。

　　013.對于科學方法而言，重要的是應放棄帶有行而上學性質的因素，而去考慮那些可觀測的事實，把它們作為概念和構作的最終根源。

　　014.基本的數學概念必須抽象化。

　　015.唯一能回答“什么是數學”這一問題的，不是哲學而是數學本身中的活生生的經驗。