2017年全國數(shù)學(xué)建模大賽獲獎優(yōu)秀論文
2017年全國數(shù)學(xué)建模大賽獲獎優(yōu)秀論文
數(shù)學(xué)建模就是通過計(jì)算得到的結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)，來建立數(shù)學(xué)模型的全過程。下文是學(xué)習(xí)啦小編為大家整理的關(guān)于2017年全國數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文的范文，歡迎大家閱讀參考!
2017年全國數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文篇1
基于EXCEL的層次分析法模型設(shè)計(jì)
摘要：層次分析法是美國學(xué)者T.L.Satty于20世紀(jì)70年代提出了以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析解決問題的方法，簡稱AHP。傳統(tǒng)的層次分析法算法具有構(gòu)造判斷矩陣不容易、計(jì)算繁多重復(fù)且易出錯、一致性調(diào)整比較麻煩等缺點(diǎn)。本文利用微軟的Excel電子表格的強(qiáng)大的函數(shù)運(yùn)算功能，設(shè)置了簡明易懂的計(jì)算表格和步驟，使得判斷矩陣的構(gòu)造、層次單排序和層次總排序的計(jì)算以及一致性檢驗(yàn)和檢驗(yàn)之后對判斷矩陣的調(diào)整變得十分簡單。
關(guān)鍵詞：Excel 層次分析法 模型
一、層次分析法的基本原理
層次分析法是解決定性事件定量化或定性與定量相結(jié)合問題的有力決策分析方法。它主要是將人們的思維過程層次化、，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供較具說服力的定量依據(jù)。層次分析法不僅可用于確定評價指標(biāo)體系的權(quán)重，而且還可用于直接評價決策問題，對研究對象排序，實(shí)施評價排序的評價內(nèi)容。
用AHP分析問題大體要經(jīng)過以下七個步驟：
⑴建立層次結(jié)構(gòu)模型;
首先要將所包含的因素分組，每一組作為一個層次，按照最高層、若干有關(guān)的中間層和最低層的形式排列起來。對于決策問題，通?？梢詫⑵鋭澐殖蓪哟谓Y(jié)構(gòu)模型，如圖1所示。
其中，最高層：表示解決問題的目的，即應(yīng)用AHP所要達(dá)到的目標(biāo)。
中間層：它表示采用某種措施和政策來實(shí)現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，一般又分為策略層、約束層、準(zhǔn)則層等。
最低層：表示解決問題的措施或政策(即方案)。
?、茦?gòu)造判斷矩陣;
設(shè)有某層有n個元素，X={Xx1,x2,x3……xn}要比較它們對上一層某一準(zhǔn)則(或目標(biāo))的影響程度，確定在該層中相對于某一準(zhǔn)則所占的比重。(即把n個因素對上層某一目標(biāo)的影響程度排序。上述比較是兩兩因素之間進(jìn)行的比較，比較時取1~9尺度。
用表示第i個因素相對于第j個因素的比較結(jié)果，則
A則稱為成對比較矩陣
比較尺度：(1~9尺度的含義)
如果數(shù)值為2,4,6,8表示第i個因素相對于第j個因素的影響介于上述兩個相鄰等級之間。
倒數(shù)：若j因素和i因素比較，得到的判斷值為
⑶用和積法或方根法等求得特征向量 W(向量 W 的分量 Wi 即為層次單排序)并計(jì)算最大特征根λmax;
?、扔?jì)算一致性指標(biāo) CI、RI、CR 并判斷是否具有滿意的一致性。其中RI是
其中
平均隨機(jī)一致性指標(biāo) RI 的數(shù)值：
矩陣階數(shù) 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RI 0.5149 0.8931 1.1185 1.2494 1.3450 1.4200 1.4616 1.49 1.51
CR=CI/RI,一般地當(dāng)一致性比率CR<0.1時，認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣，對A加以調(diào)整。 ⑸層次總排序，如表1所示。
⑹層次總排序一致性檢驗(yàn)，如前所述。
?、烁鶕?jù)需要進(jìn)行調(diào)整 對于層次單排序結(jié)果和層次總排序結(jié)果，只要符合滿意一致性即隨機(jī)一致性比例 CR≤ 0.10 就可以結(jié)束計(jì)算并認(rèn)同排序結(jié)果，否則就要返回調(diào)整不符合一致性的判斷矩陣。
二、層次分析法 Excel 模型設(shè)計(jì)過程 案例：某人欲到蘇州、杭州、桂林三地旅游，選擇要考慮的因素包括四個方面：景色、費(fèi)用、居住和飲食，用層次分析法選一個適合自己情況的旅游點(diǎn)。
?、备鶕?jù)題意可以建立層次結(jié)構(gòu)模型。
?、睧xcel實(shí)現(xiàn)過程
⑴將準(zhǔn)則層的各因素對目標(biāo)層的影響兩兩比較結(jié)果輸入Excel表格中，進(jìn)行單排序及一致性檢驗(yàn)。
其中：F4=PRODUCT(B4:E4)，表示B4、C4、D4、E4各單元格連乘，復(fù)制公式至F7單元格。 G4=POWER(F4,1/4)，表示將F4單元格的值開4次方，復(fù)制公式至G7單元格 G8=SUM(G4:G7)，表示求和 H4=G4/$G，復(fù)制公式至H7單元格 I4= B4*H+C4*H+D4*H+E4*H，復(fù)制公式至I7單元格 J4= I4/H4 λmax= AVERAGE(J4:J7)。 CI=(J8-4)/(4-1)，CR=CI/0.8931=0.0080101<0.1，即通過一致性檢驗(yàn)。
?、瓢赐瑯拥姆椒ǚ謩e計(jì)算出方案層對景色、費(fèi)用、居住、飲食的判斷矩陣及一致性檢驗(yàn)，。
?、菍哟慰偱判颍捎谔K州數(shù)值最高，故選擇的旅游地為蘇州。 其中：C44=K14，G44=$C*C44，H48={SUM($C:$F*C48:F48)}，注意：這是一個數(shù)組函數(shù)需按ctrl+shift+enter三鍵確定。
三、基于Excel的層次分析法模型設(shè)計(jì)的優(yōu)勢
⑴層次分析法 Excel 算法以廣泛使用的辦公軟件 Excel 作為運(yùn)算平臺，無需掌握深奧的計(jì)算機(jī)專業(yè)知識和術(shù)語，有很好的推廣應(yīng)用基礎(chǔ)。
?、茖哟畏治龇?Excel算法的所有計(jì)算結(jié)果和數(shù)據(jù)均保留最高位數(shù)的精確度，可以不在任何環(huán)節(jié)進(jìn)行四舍五入，當(dāng)然也可以根據(jù)需要設(shè)置小數(shù)位，從而最大限度地減少了誤差。
?、菍哟畏治龇?Excel 算法的計(jì)算步驟設(shè)計(jì)成環(huán)環(huán)相扣、步步跟蹤，步驟設(shè)計(jì)完畢后，可以按需要填充或變更，其余數(shù)據(jù)和結(jié)果均可以在填充或變更判斷矩陣之后立即得出，使得整個運(yùn)算過程簡捷、輕松。另外，相似的矩陣區(qū)和計(jì)算區(qū)可以通過復(fù)制完成，只需改動少量單元格。
⑷層次分析法 Excel 算法將一致性檢驗(yàn)也同時計(jì)算出來，決策者和判斷者可以即時知道自己的判斷是否具有滿意的一致性并可以隨時和簡單地進(jìn)行調(diào)整直到符合滿意一致性。
?、扇绻恢滦灾笜?biāo)不能令人滿意，用本方法可以比較容易地實(shí)現(xiàn)對判斷矩陣的調(diào)整，可以實(shí)現(xiàn)對判斷的“微調(diào)” ，使得逼近最大程度的“滿意一致性”甚至“完全一致性”而又不必進(jìn)行繁重運(yùn)算成為可能。
2017年全國數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文篇2
試論數(shù)學(xué)建模
【摘 要】本文以“減肥問題的研究”為例，介紹了數(shù)學(xué)建?；痉椒ê筒襟E，希望它能對初次參加數(shù)學(xué)建模的同學(xué)有所幫助。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;基本方法;步驟
數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實(shí)際問題的方法，也就是通過對實(shí)際問題作抽象、簡化、確定變量和參數(shù)并應(yīng)用某些“規(guī)律”建立含變量和參數(shù)的數(shù)學(xué)問題，求解該數(shù)學(xué)問題并驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決實(shí)際問題的這種多次循環(huán)，不斷深化的過程。數(shù)學(xué)建模可以培養(yǎng)學(xué)生下列能力：
(1)洞察能力，許多提出的問題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需要建模者善于從實(shí)際工作提供的原形中;抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時有些數(shù)學(xué)模型又可以有許多現(xiàn)實(shí)意義，這使得建模者不得不具有很強(qiáng)的洞察以及多種思維方式進(jìn)行橫向、縱向的研究;
(2)數(shù)學(xué)語言翻譯能力即把經(jīng)過一定抽象和簡化的實(shí)際用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)出來，形成數(shù)學(xué)模型，并對數(shù)學(xué)的方法和理論推導(dǎo)或計(jì)算得到的結(jié)果，能用大眾的語言表達(dá)出來，在此基礎(chǔ)上提出解決某一問題的方案或建議;
(3)綜合應(yīng)用分析能力，用已學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行綜合應(yīng)用分析，并能學(xué)習(xí)一些新的知識;(4)聯(lián)想能力，對于不少的實(shí)際問題，看起來完全不同，但在一定的簡化層次下它們的數(shù)學(xué)建模是相同的或相似的，這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的體現(xiàn)，這就要培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實(shí)地學(xué)習(xí)，通過熟能生巧達(dá)到觸類旁通地境界。因此，目前有越來越多的高等院校自己組織或參加全國乃至國際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模竟賽。
然而，有部分學(xué)生特別是初次參加數(shù)學(xué)建模的學(xué)生對數(shù)學(xué)建模感到很茫然，本人多次承擔(dān)數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)老師，撰寫該論文，希望對初次參加數(shù)學(xué)建模的同學(xué)有所幫助。
1.建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟
1.1 使問題理想化
在眾多因素中孤立出所研究的問題是科學(xué)研究的經(jīng)典方法。按照辯證唯物主義觀點(diǎn)，世界上一切事物都是相互依賴、相互依存的，要精細(xì)地研究一個問題常常無從下手，就是因?yàn)樗伎枷嚓P(guān)問題太多所致。因此，對初學(xué)者最好的方法就是使問題簡單化、理想化，在特殊或極端情況下進(jìn)入課題，然后加入相關(guān)因素，修正結(jié)果，使問題深化。這一步的核心思想就是在復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)中孤立我們所關(guān)心的事物與什么有直接因果關(guān)系，把這些孤立出來的事物用符號、算式及相關(guān)學(xué)科的理論進(jìn)行數(shù)學(xué)分析處理的全過程，就可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)建模的過程了。
1.2 假定及符號認(rèn)定
在比較理想的情況下建立數(shù)學(xué)模型還是很容易的。所謂理想就是通過假設(shè)條件把所研究的問題進(jìn)一步明確，哪些條件先不慮，哪些條件應(yīng)設(shè)為變量，哪些變量與時間(路程、費(fèi)用等等)有關(guān)。這樣就為下一步建立數(shù)學(xué)模型打下了良好的基礎(chǔ)。
1.3 數(shù)據(jù)處理與模型建立
數(shù)學(xué)模型的建立一般有兩種情況。其一，問題本身給出一些數(shù)據(jù)，建模的人應(yīng)從數(shù)據(jù)上找出一定的規(guī)律性，這時就應(yīng)通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法整理數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)。如使用最小二乘法、統(tǒng)計(jì)學(xué)方法等。對于沒有數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型的建立，一般要使用數(shù)學(xué)手段建立形式，如矩陣、微分方程、數(shù)學(xué)優(yōu)化形式等等，這些都可以視為數(shù)學(xué)模型的初創(chuàng)時期。在建模初期還必須注意使用其它學(xué)科的成果，如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、電工、機(jī)械、光學(xué)等學(xué)科，把這些學(xué)科的現(xiàn)成結(jié)論直接拿來使用也是數(shù)學(xué)建模時必不可少的一環(huán)。
1.4 分析結(jié)果及修改模型
在比較理想的狀態(tài)下建立的數(shù)學(xué)模型一般都與實(shí)際原形有較大差距。為使數(shù)學(xué)模型更能反映原形，就必須按實(shí)際情況再修改、補(bǔ)充新條件，分析新結(jié)論，最終經(jīng)反復(fù)研究會得到一個令人滿意的結(jié)果。
2.以對“減肥問題的研究”為例，探討數(shù)學(xué)建模方法和步驟
2.1 問題的提出
對于人類來說，肥胖癥或減肥問題越來越引起人們的廣泛關(guān)注。目前各種減肥食品或藥物數(shù)不勝數(shù)，各種減肥新法也紛紛登場，如國氏全營養(yǎng)素、減肥酥、soft海藻減肥香皂等。一時間，愛美的人，害怕肥胖的人面對如此多的食品、藥物或療法簡直無所適從。這里不準(zhǔn)備也不可能去論證各種食品、藥物或療法的機(jī)理和有效性，只從數(shù)學(xué)上對減肥問題作些討論，即科學(xué)減肥的數(shù)學(xué)。
2.2 合理假設(shè)
A1：不妨假設(shè)人體由脂肪構(gòu)成。(相對而言，成人是由骨骼、水分、脂肪組成，短時間內(nèi)人體的骨骼、內(nèi)臟等變化不大，可視為常數(shù)。)
A2：設(shè)時刻t，人的體重為W(t)千克，顯然W(t)可假設(shè)為t的連續(xù)函數(shù);
A3：假設(shè)單位時間內(nèi)人食用食物產(chǎn)生的熱量為A大卡，同樣也假設(shè)A為常數(shù);
A4：單位時間內(nèi)維持新陳代謝的熱量為B大卡，同樣也假設(shè)為常數(shù);
A5：設(shè)單位時間內(nèi)因運(yùn)動消耗的能量與體重成正比，即C・W(t)大卡(由于運(yùn)動需要消耗能量，而且體重越大，能量越多);
A6：對于人體系統(tǒng)而言，能量守恒;
A7：過剩的熱量按1千克脂肪=D大卡熱量轉(zhuǎn)化為脂肪(D=4.2*10焦耳/千克，稱為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù));
A8：初始時刻t=0時，體重為W0千克。
注：1千克脂肪完全“然燒”相當(dāng)于釋放10000(即1D)大卡熱量。
2.3 模型的建立
由能量(熱量)守恒原理即任何時間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時間的攝入的能量與消耗的能量之差。故在△t(或[t，t+△t]時間間隔內(nèi)，“增加”的熱量=△t[單位時間內(nèi)吸入熱量-單位時間內(nèi)消耗的熱量]，于是有：
3.總結(jié)
(1)一般方法只供參考，各步有機(jī)聯(lián)系但側(cè)重點(diǎn)不同。
(2)模型雖粗，但能定性說明問題，每步還有改進(jìn)的余地。
參考文獻(xiàn)：
[1]數(shù)學(xué)建模[M].高等教育出版社.
[2]劉平.談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)通訊，2012(10).
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