福建省福州八中高二期中文理科數(shù)學(xué)試卷(2)
福建省福州八中高二期中理科數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.每題有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把答案填在答卷相應(yīng)位置上)
1.復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是
A. B. C. D.
2. 下列推理過程屬于演繹推理的為
A.老鼠、猴子與人在身體結(jié)構(gòu)上有相似之處，某醫(yī)藥先在猴子身上試驗(yàn)，試驗(yàn)成功后再用于人體試驗(yàn)
B.由，，，…得出
C.由三角形的三條中線交于一點(diǎn)聯(lián)想到四面體四條中線(四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對面重心的連線)交于一點(diǎn)
D.通項(xiàng)公式形如的數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列為等比數(shù)列
3. 在“近似替代”中，函數(shù)在區(qū)間上的近似值
A.只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值B.只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值
C.可以是該區(qū)間內(nèi)的任一函數(shù)值) D.以上答案均正確設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則
A. B. C. D.
某個(gè)自然數(shù)有關(guān)的命題，如果當(dāng)時(shí)，該命題不成立，那么可推得時(shí)，該命題不成立.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)，該命題成立，那么，可推得
A.時(shí)，該命題成立B.時(shí)，該命題成立
C.時(shí)，該命題不成立D.時(shí)，該命題不成立
，，，、的大小關(guān)系是
A. B.
C. D.由的取值確定
7. 函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A.B.C.D.
8.設(shè)，則，
A.都不大于2 B.都不小于2
C.至少有一個(gè)不小于2 D.至少有一個(gè)不大于2
9.下面給出了四個(gè)類比推理.
為實(shí)數(shù)，若則;類比推出：、為復(fù)數(shù)，若，則.
若數(shù)列是等差數(shù)列，，則數(shù)列也是等差數(shù)列;類比推出：若數(shù)列是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，，則數(shù)列也是等比數(shù)列.
若,則;類比推出：若、、為三個(gè)向量.則.
若圓的半徑為，則圓的面積為;類比推出：若橢圓的長半軸長為，短半軸長為，則橢圓的面積為.
上述四個(gè)推理中，結(jié)論正確的是
A.B.C.D.
10.記為函數(shù)的階導(dǎo)函數(shù)，即.若，且集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為
A.1006B.1007C.503D.504
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11. 若純虛數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)等于 .
12.計(jì)算定積分= .
13. 用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+1)時(shí)，由時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是 .
14. 二維空間中，圓的—維測度(周長);二維測度(面積);一維空間中球的二維測度(表面積)，三維測度(體積)，應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度，則其四維測度 .
三、解答題(本大題共有3個(gè)小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.)
15.(本小題滿分14分)復(fù)數(shù)，(其中 為虛數(shù)單位，)，
(1)，求復(fù)數(shù)的模;(2)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)復(fù)數(shù)為純虛數(shù);
(3)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限?
16.(本小題滿分12分)設(shè)點(diǎn)在曲線上，從原點(diǎn)向移動(dòng)，如果直線，曲線及直線所圍成的陰影部分面積分別記為、.
()當(dāng)=時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo);
()當(dāng)+有最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和最小值.
17.(本小題滿分14分)已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.
()當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
()求證：在()的條件下;
()是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值;若不存在，請說明理由.
第卷
、選擇題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.每題有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把答案填在答卷相應(yīng)位置上)
18.若，則是的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.即不充分又不必要條件
19. 某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成員同時(shí)搶4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶光，4個(gè)紅包中有兩個(gè)2元，兩個(gè)3元(紅包中金額相同視為相同的紅包)，則甲乙兩人都搶到紅包的情況有( )
A.35種 B.24種 C.18種 D.9種
20. 在下面的四個(gè)圖象中，其中一個(gè)圖象是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則等于
A. B. C. D. 或
21. 已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)滿足：，則與(e是自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系
A. B.
C. D.不確定
填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)
22. 展開式中項(xiàng)的系數(shù)是_____________.
23. 觀察下列等式：
…
則當(dāng)且時(shí)，=_____.(最后結(jié)果用表示)
、解答題(本大題共有2個(gè)小題，共24分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.)
24. (本小題滿分12分)某學(xué)校記者團(tuán)由理科組和文科組構(gòu)成，具體數(shù)據(jù)如下表所示：
組別 理科 文科 性別 男生 女生 男生 女生 人數(shù) 3 3 3 1 學(xué)校準(zhǔn)備從中選4人到社區(qū)舉行的大型公益活動(dòng)中進(jìn)行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生，給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學(xué)生都有.
()求理科組恰好記4分的概率;
()設(shè)文科組男生被選出的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
25.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
()當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)圖像過點(diǎn)的切線方程;
()當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)的取值范圍;
()若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分.每題有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把答案填在答卷相應(yīng)位置上)
1-10 BDCCB ACCDD
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
11. 1 12. 13. 14.
三、解答題(本大題共有3個(gè)小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.)
15.解：由已知整理得： ……………2分
(1)當(dāng) ， ………………6分
(2)當(dāng)，，，復(fù)數(shù)為純虛數(shù) ……………10分
(3)當(dāng)，， 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限 ………………14分
16.解：()設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的方程為
，，
因?yàn)?，，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……6分
()=+ =+=
，令得，
因?yàn)闀r(shí)，;時(shí)，
所以，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為 .………………12分
17.解：()當(dāng)時(shí)， ……………1分
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.
所以的極小值為
故：的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值. …………4分
()令， ………5分
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以， ………7分
由()知，所以在()的條件下. ………9分()假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使有最小值3，. ………………10分
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞減，所以，解得(舍去) ………11分
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，滿足條件. ………12分
當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，解得(舍去)…13分
綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)的最小值為3. ………14分
第卷
一、選擇題(本大題共4小題，每小題4分，共16分.每題有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請把答案填在答卷相應(yīng)位置上)
18-21 ACAA
二、填空題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)
22.-10 23.
三、解答題(本大題共有2個(gè)小題，共24分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.)
24. 解:( )要求被選出的4人中理科組、文科組學(xué)生都有,共有種結(jié)果， ………………2分
其中“理科組恰好記4分“的選法有兩種情況:
從理科組選2男1女,文科組任選1人，有種方法,
從理科組中選2女,再從文科組任選2人，有種方法
所以. ………………6分
()由題意可得=0，1，2，3.
……10分
其分布列為
0 1 2 3 ………………11分
數(shù)學(xué)期望. ………………12分
25.解：()當(dāng)時(shí)，有
過點(diǎn)的切線方程為：
即. ……………3分
()當(dāng)時(shí)，有，其定義域?yàn)?/p>
從而方程可化為：
令，則………4分
由得，得
在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且， ………………………6分
又當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，
關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，
實(shí)數(shù)的取值范圍是或. ………………………7分
()的定義域?yàn)椋?/p>
令得
又函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、
有兩個(gè)不等實(shí)根、
，且，
從而. ………………………………………………9分
由不等式恒成立恒成立
.
令
，當(dāng)時(shí)恒成立.
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是：. ……………………12分
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