湘教版2017九年級數(shù)學上期末試卷
湘教版2017九年級數(shù)學上期末試卷
體悟好平時做數(shù)學的試題，觸類旁通。九年級的數(shù)學題并不難，只要你用心了就能學會。 以下是學習啦小編為你整理的湘教版2017九年級數(shù)學上期末試卷，希望對大家有幫助!
湘教版2017九年級數(shù)學上期末試卷
一、選擇題
1.已知非零實數(shù)a，b，c，d滿足 = ，則下面關(guān)系中成立的是( )
A. B. C.ac=bd D.
2.方程2(2x+1)(x﹣3)=0的兩根分別為( )
A. 和3 B.﹣ 和3 C. 和﹣3 D.﹣ 和﹣3
3.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A.k>﹣1且k≠0 B.k≥﹣1 且k≠0 C.k>1 D.k<1且 k≠0
4.如果A和B是一個直角三角形的兩個銳角，那么( )
A.sinA=cosB B.sinA=sinB C.cosA=cosB D.sinB=cosB
5.下面結(jié)論中正確的是( )
A. B. C. D.
6.已知一組正數(shù)a，b，c，d的平均數(shù)為2，則a+2，b+2，c+2，d+2的平均數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.6
7.某中學為了解九年級學生數(shù)學學習情況，在一次考試中，從全校500名學生中隨機抽取了100名學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計結(jié)果這100名學生的數(shù)學平均分為91分，由此推測全校九年級學生的數(shù)學平均分( )
A.等于91分 B.大于91分 C.小于91分 D.約為91分
8.已知點A(m，1)和B(n，3)在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上，則( )
A.mn
C.m=n D.m、n大小關(guān)系無法確定
二、填空題
9.若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m= .
10.若1和﹣3是關(guān)于x的方程ax2+bc+c=0的兩個實根，則方程左邊可以因式分解為： .
11.方程x2+x﹣1=0的根是 .
12.如圖，AB∥CD∥EF，若 = ，則 = .
13.已知 = = ，則 = .
14.已知m，n是方程2x2﹣3x+1=0的兩根，則 + = .
15.線段AB=6cm，C為線段AB上一點(AC>BC)，當BC= cm時，點C為AB的黃金分割點.
16.α為銳角，則sin2α+cos2α= .
三、解答題(共64分)
17.(6分)計算：|tan60°﹣2|•( +4).
18.(6分)作圖：如圖所示，O為△ABC外一點，以O(shè)為位似中心，將△ABC縮小為原圖的 .(只作圖，不寫作法和步驟)
19.(8分)如圖所示，△ABC為直角三角形，∠A=30°，
(1)求cosA﹣ cosB+ sin45°;
(2)若AB=4，求△ABC的面積.
20.(8分)已知關(guān)于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0
(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若此方程的一個根是1，求出方程的另一個根.
21.(8分)如圖，直線y=kx+2與雙曲線y= 都經(jīng)過點A(2，4)，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點B、C兩點.
(1)求直線與雙曲線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求△AOB的面積.
22.(8分)公園里有一座假山，在B點測得山頂H的仰角為45°，在A點測得山頂H的仰角是30°，已知AB=10m，求假山的高度CH.
23.(10分)如圖，E是正方形ABCD的CD邊上的一點，BF⊥AE于F，
(1)求證：△ADE∽△BFA;
(2)若正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，求△BFA的面積.
24.(10分)如圖，A(﹣4， )、B(﹣1，2)是反比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y=kx+b的圖象在第二象限內(nèi)的兩個交點，AM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，
(1)求一次函數(shù)的解析式及a的值;
(2)P是線段AB上一點，連接PM、PN，若△PAM和△PBN的面積相等，求△OPM的面積.
湘教版2017九年級數(shù)學上期末試卷答案
一、選擇題
1.已知非零實數(shù)a，b，c，d滿足 = ，則下面關(guān)系中成立的是( )
A. B. C.ac=bd D.
【考點】比例線段.
【分析】依題意比例式直接求解即可.
【解答】解：因為非零實數(shù)a，b，c，d滿足 = ，
所以肯定 ，或ad=bc;
故選B
【點評】此題考查比例線段問題，能夠根據(jù)比例正確進行解答是解題關(guān)鍵.
2.方程2(2x+1)(x﹣3)=0的兩根分別為( )
A. 和3 B.﹣ 和3 C. 和﹣3 D.﹣ 和﹣3
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】根據(jù)已知方程得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.
【解答】解：2(2x+1)(x﹣3)=0，
2x+1=0，x﹣3=0，
x1=﹣ ，x2=3，
故選B.
【點評】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.
3.若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是( )
A.k>﹣1且k≠0 B.k≥﹣1 且k≠0 C.k>1 D.k<1且 k≠0
【考點】根的判別式.
【分析】根據(jù)根的判別式得出k≠0且(﹣2)2﹣4k•(﹣1)>0，求出即可.
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴k≠0且(﹣2)2﹣4k•(﹣1)>0，
解得：k>﹣1且k≠0，
故選A.
【點評】本題考查了根的判別式的應(yīng)用，能根據(jù)已知得出k≠0且(﹣2)2﹣4k•(﹣1)>0是解此題的關(guān)鍵.
4.如果A和B是一個直角三角形的兩個銳角，那么( )
A.sinA=cosB B.sinA=sinB C.cosA=cosB D.sinB=cosB
【考點】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)一個角的正弦等于它余角的余弦，可得答案.
【解答】解：由A和B是一個直角三角形的兩個銳角，得
sinA=cosB，
故選：A.
【點評】本題考查了互余兩角三角函數(shù)關(guān)系，熟記一個角的正弦等于它余角的余弦是解題關(guān)鍵.
5.下面結(jié)論中正確的是( )
A. B. C. D.
【考點】特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案.
【解答】解：A、sin60°= ，故A錯誤;
B、tan60°= ，故B正確;
C、sin45°= ，故C錯誤;
D、cos30°= ，故D錯誤;
故選：B.
【點評】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.
6.已知一組正數(shù)a，b，c，d的平均數(shù)為2，則a+2，b+2，c+2，d+2的平均數(shù)為( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考點】算術(shù)平均數(shù).
【分析】先根據(jù)a，b，c，d的平均數(shù)為2可得a+b+c+d=8，再代入 可得答案.
【解答】解：∵ =2，即a+b+c+d=8，
則 =4，
故選：C.
【點評】本題主要考查算術(shù)平均數(shù)的計算，熟練掌握對于n個數(shù)x1，x2，…，xn，則x¯= (x1+x2+…+xn)就叫做這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)是解題的關(guān)鍵.
7.某中學為了解九年級學生數(shù)學學習情況，在一次考試中，從全校500名學生中隨機抽取了100名學生的數(shù)學成績進行統(tǒng)計分析，統(tǒng)計結(jié)果這100名學生的數(shù)學平均分為91分，由此推測全校九年級學生的數(shù)學平均分( )
A.等于91分 B.大于91分 C.小于91分 D.約為91分
【考點】加權(quán)平均數(shù).
【分析】根據(jù)樣本估計總體的方法進行選擇即可.
【解答】解：∵這100名學生的數(shù)學平均分為91分，
∴全校九年級500名學生的數(shù)學平均分約為91分，
故選D.
【點評】本題考查了加權(quán)平均數(shù)以及用樣本估計總體，掌握方法是解題的關(guān)鍵.
8.已知點A(m，1)和B(n，3)在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上，則( )
A.mn
C.m=n D.m、n大小關(guān)系無法確定
【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.
【分析】由反比例函數(shù)的比例系數(shù)為正，那么圖象過第一，三象限，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性可得m和n的大小關(guān)系.
【解答】解：∵點A(m，1)和B(n，3)在反比例函數(shù)y= (k>0)的圖象上，
1<3，
∴m>n.
故選：B.
【點評】此題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)得到函數(shù)圖象所在的象限，用到的知識點為：k>0，圖象的兩個分支分布在第一，三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.
二、填空題
9.若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m= .
【考點】根的判別式.
【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=12﹣4m=0，然后解一元一次方程即可.
【解答】解：根據(jù)題意得△=12﹣4m=0，
解得m= .
故答案為 .
【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根;當△<0，方程沒有實數(shù)根.
10.若1和﹣3是關(guān)于x的方程ax2+bc+c=0的兩個實根，則方程左邊可以因式分解為： a(x+3)(x﹣1) .
【考點】解一元二次方程-因式分解法.
【分析】利用因式分解法解方程的方法，利用1和﹣3是關(guān)于x的方程ax2+bc+c=0的兩個實根可判斷方程左邊含有(x+3)(x﹣1)兩因式.
【解答】解：∵1和﹣3是關(guān)于x的方程ax2+bc+c=0的兩個實根，
∴a(x+3)(x﹣1)=0，
即ax2+bc+c=a(x+3)(x﹣1).
答案為a(x+3)(x﹣1).
【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉(zhuǎn)化思想).
11.方程x2+x﹣1=0的根是 .
【考點】解一元二次方程-公式法.
【分析】此題考查了公式法解一元二次方程，解題時要注意將方程化為一般形式.
【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣1
∴b2﹣4ac=5>0
∴x=﹣ .
【點評】解此題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用求根公式，要注意將方程化為一般形式，確定a、b、c的值.
12.如圖，AB∥CD∥EF，若 = ，則 = .
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到比例式BD：DF=AC：CE，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可得到 = ，進而得出 = .
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BD：DF=AC：CE，
∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
故答案為： .
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應(yīng)關(guān)系得到相關(guān)的比例式是解題的關(guān)鍵.
13.已知 = = ，則 = .
【考點】比例的性質(zhì).
【分析】根據(jù)等比的性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：設(shè) = = =a，
x=3a，y=4a，z=5a.
= = ，
故答案為： .
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出x=3a，y=4a，z=5a是解題關(guān)鍵.
14.已知m，n是方程2x2﹣3x+1=0的兩根，則 + = 3 .
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出m+n= 、mn= ，將 + 統(tǒng)分后代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵m，n是方程2x2﹣3x+1=0的兩根，
∴m+n= ，mn= ，
∴ + = = =3.
故答案為：3.
【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握“x1+x2=﹣ ，x1x2= ”是解題的關(guān)鍵.
15.線段AB=6cm，C為線段AB上一點(AC>BC)，當BC= (9﹣3 ) cm時，點C為AB的黃金分割點.
【考點】黃金分割.
【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AC為較長線段;則AC= AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AC的值，然后計算AB﹣AC即可得到BC.
【解答】解：∵C為線段AB的黃金分割點(AC>BC)，
∴AC= AB= ×6=3 ﹣3(cm)，
∴BC=AB﹣AC=6﹣(3 ﹣3)=9﹣3 (cm).
故答案為(9﹣3 ).
【點評】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中項(即AB：AC=AC：BC)，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.其中AC= AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個.
16.α為銳角，則sin2α+cos2α= 1 .
【考點】同角三角函數(shù)的關(guān)系.
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念以及勾股定理即可求解.
【解答】1解：設(shè)直角△ABC中，∠C=90°，∠A=α，α的對邊是a，鄰邊是b，斜邊是c.
則有a2+b2=c2，sinα= ，cosα= ，
所以sin2α+cos2α= = =1.
故答案為：1.
【點評】此題綜合運用了銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理.要熟記這一結(jié)論：sin2α+cos2α=1，由一個角的正弦或余弦可以求得這個角的余弦或正弦.
三、解答題(共64分)
17.計算：|tan60°﹣2|•( +4).
【考點】實數(shù)的運算;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，再結(jié)合絕對值的性質(zhì)求出答案.
【解答】解：|tan60°﹣2|•( +4)
= •
=2×(2﹣ )•
=2×(2﹣ )(2+ )
=2.
【點評】此題主要考查了實數(shù)運算以及特殊角的三角函數(shù)值，正確化簡各式是解題關(guān)鍵.
18.作圖：如圖所示，O為△ABC外一點，以O(shè)為位似中心，將△ABC縮小為原圖的 .(只作圖，不寫作法和步驟)
【考點】作圖-位似變換.
【分析】分別連接OA、OB、OC，再取它們的中點D、E、F，則△DEF滿足條件.
【解答】解：如圖，△DEF為所作.
【點評】本題考查了作圖﹣位似變換：先確定位似中心;再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點;接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點;然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.
19.如圖所示，△ABC為直角三角形，∠A=30°，
(1)求cosA﹣ cosB+ sin45°;
(2)若AB=4，求△ABC的面積.
【考點】解直角三角形.
【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解即可.
【解答】解：(1)因為△ABC為直角三角形，∠A=30°，
所以B=60°，
， ， ，
=
=1
(2)若AB=4，則
所以
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.
20.已知關(guān)于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0
(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若此方程的一個根是1，求出方程的另一個根.
【考點】根與系數(shù)的關(guān)系;根的判別式.
【分析】(1)要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明△>0即可.△=[﹣(m+2)]2﹣4(2m﹣1)=m2﹣4m+8=(m﹣2)2+4，因為(m﹣2)2≥0，可以得到△>0;
(2)將x=1代入方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0，求出m的值，進而得出方程的解.
【解答】(1)證明：∵△=[﹣(m+2)]2﹣4(2m﹣1)=m2﹣4m+8=(m﹣2)2+4，
而(m﹣2)2≥0，
∴△>0.
∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)解：∵方程的一個根是1，
∴12﹣(m+2)+2m﹣1=0，
解得：m=2，
∴原方程為：x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3.
故方程的另一個根是3.
【點評】此題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：(1)△>0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)△<0⇔方程沒有實數(shù)根.同時考查了一元二次方程的解的定義.
21.如圖，直線y=kx+2與雙曲線y= 都經(jīng)過點A(2，4)，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點B、C兩點.
(1)求直線與雙曲線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求△AOB的面積.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)將點A的坐標分別代入直線y=kx+2與雙曲線y= 的解析式求出k和m的值即可;
(2)當y=0時，求出x的值，求出B的坐標，就可以求出OB的值，作AE⊥x軸于點E，由A的坐標就可以求出AE的值，由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論.
【解答】解：(1)∵線y=kx+2與雙曲線y= 都經(jīng)過點A(2，4)，
∴4=2k+2，4= ，
∴k=1，m=8，
∴直線的解析式為y=x+2，雙曲線的函數(shù)關(guān)系式為y= ;
(2)當y=0時，
0=x+2，
x=﹣2，
∴B(﹣2，0)，
∴OB=2.
作AE⊥x軸于點E，
∵A(2，4)，
∴AE=4.
∴△AOB的面積為： ×2×4=4.
【點評】本題考查了運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)，反比例函數(shù)的解析式的運用，三角形的面積公式的運用，解答時求出的解析式是關(guān)鍵.
22.公園里有一座假山，在B點測得山頂H的仰角為45°，在A點測得山頂H的仰角是30°，已知AB=10m，求假山的高度CH.
【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.
【分析】設(shè)CH=xm，根據(jù)仰角的定義得到∠HBC=45°，∠HAC=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BC=CH=x，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得AC= x，即10+x= x，解出x即可.
【解答】解：如圖，設(shè)CH=xm，由題意得∠HBC=45°，∠HAC=30°.
在Rt△HBC中，BC=CH=x，
在Rt△AHC中，AC= CH= x，
∵AB+BC=AC，
∴10+x= x，
解得x=5( +1).
所以假山的高度CH為(5 +5)米.
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：向上看，視線與水平線的夾角叫仰角.也考查了等腰直角三角形和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.
23.(10分)(2015秋•君山區(qū)期末)如圖，E是正方形ABCD的CD邊上的一點，BF⊥AE于F，
(1)求證：△ADE∽△BFA;
(2)若正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，求△BFA的面積.
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì).
【分析】(1)根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似，即可證明△ADE∽△BFA;
(2)利用三角形的面積比等于相似比的平方，即可解答.
【解答】(1)證明：∵BF⊥AE于點F，四邊形ABCD為正方形，
∴△ADE和△BFA均為直角三角形，
∵DC∥AB，
∴∠DEA=∠FAB，
∴△ADE∽△BFA;
(2)解：∵AD=2，E為CD的中點，
∴DE=1，
∴AE= = ，
∴ ，
∵△ADE∽△BFA，
∴ =( )2= ，
∵S△ADE= ×1×2=1，
∴S△BFA= S△ADE= .
【點評】本題主要考查三角形相似的性質(zhì)與判定，熟記相似三角形的判定是解決第(1)小題的關(guān)鍵;第(2)小題中，利用相似三角形的面積比是相似比的平方是解決此題的關(guān)鍵.
24.(10分)(2015秋•君山區(qū)期末)如圖，A(﹣4， )、B(﹣1，2)是反比例函數(shù)y= 與一次函數(shù)y=kx+b的圖象在第二象限內(nèi)的兩個交點，AM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，
(1)求一次函數(shù)的解析式及a的值;
(2)P是線段AB上一點，連接PM、PN，若△PAM和△PBN的面積相等，求△OPM的面積.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)把A、B兩點坐標代入y=kx+b可得到k、b的方程，解方程求出k、b即可得到一次函數(shù)解析式;然后把A點坐標代入y= 可得到a的值;
(2)先確定M(﹣4，0)，N(0，2)，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設(shè)P(x， x+ )(﹣4
【解答】解：(1)把A(﹣4， )代入y= 得a=﹣4× =﹣2，
所以反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ;
把A(﹣4， )、B(﹣1，2)代入y=kx+b得 ，解得 ，
所以一次函數(shù)解析式為y= x+ ;
(2)∵AM⊥x軸于M，BN⊥y軸于N，
∴M(﹣4，0)，N(0，2)，
設(shè)P(x， x+ )(﹣4
∵△PAM和△PBN的面積相等，
∴ • •(x+4)= •1•(2﹣ x﹣ )，解得x=﹣