高考數(shù)學(xué)易錯題要點分析
高中數(shù)學(xué)中有許多題目，求解的思路不難，但解題時，對某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略。也就是在轉(zhuǎn)化過程中，沒有注意轉(zhuǎn)化的等價性，會經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。本文通過幾個例子，剖析致錯原因，希望能對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。加強思維的嚴密性訓(xùn)練。快和小編一起來看看高考數(shù)學(xué)易錯題的最新解讀吧!
要點1：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：曲線在點處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù))。
2.求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處切線的斜率;(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為。注：①當曲線在點處的切線平行于軸(此時導(dǎo)數(shù)不存在)時，由切線定義可知，切線方程為;②當切點坐標未知時，應(yīng)首先設(shè)出切點坐標，再求解。
要點2：利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。
(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù);(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式>0或<0。②若已知的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式≥0或≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解。
要點3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
1.在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時，應(yīng)注意：(以下將導(dǎo)函數(shù)取值為0的點稱為函數(shù)的駐點可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導(dǎo)函數(shù)。例如函數(shù)在點處有極小值=0，可是這里的根本不存在，所以點不是的駐點.
(1)可導(dǎo)函數(shù)的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在點處有，即點是的駐點，但從在上為增函數(shù)可知，點不是的極值點.
(2) 求一個可導(dǎo)函數(shù)的極值時，常常把駐點附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.
(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)(其實只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導(dǎo))，并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應(yīng)該有最大(小)值(如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大(小).記住這個定理很有好處)，然后通過對函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數(shù)值就是最大(小)值。知道這一點是非常重要的，因為它在應(yīng)用一般情況下選那個不帶常數(shù)的。
3.利用定積分來求面積時，特別是位于軸兩側(cè)的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數(shù)和.
命題角度 1導(dǎo)數(shù)的概念與運算
1.設(shè)，,…, ,n∈N,則 ( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
[考場錯解] 選C
[專家把脈] 由=,,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ，，故周期為4。
[對癥下藥] 選A
2.已知函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3，的解析式可能為 ( )
A.=(x-1)3+32(x-1) B.=2x+1 C.=2(x-1)2 D.=-x+3
[考場錯解] 選B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.
[專家把脈] 上面解答錯誤原因是導(dǎo)數(shù)公式不熟悉，認為(2x+1)’=2x+1.正確的是(2x+1)’=2,所以x=1時的導(dǎo)數(shù)是2，不是3。
=2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+(n=1，2，3，…)從而xn=nπ+。f(xn)=e-( nπ+)(-1)n·=-e.
∴數(shù)列{f(xn)}是公比為q=-e-π的等比數(shù)列。
[專家把脈] 上面解答求導(dǎo)過程中出現(xiàn)了錯誤，即(e-x)’=e-x是錯誤的，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則知(e-x)’=e-x(-x)’=-e-x才是正確的。
[對診下藥](1)證明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)
=-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n為整數(shù)，從而xn=nπ(n=1,2,3,…)，
f(xn)=(-1)ne-nπ,所以數(shù)列|f(xn)|是公比q=-e-π的等比數(shù)列，且首項f(x1)=-e-π
(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)
aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq(-nqn)從而Sn=(-nqn)
∵|q|=e-π<1 ∴qn=0,∴
專家會診1.理解導(dǎo)數(shù)的概念時應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)定義的另一種形式：設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則的運用。2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是搞清復(fù)合關(guān)系，求導(dǎo)應(yīng)從外層到內(nèi)層進行，注意不要遺漏3.求導(dǎo)數(shù)時，先化簡再求導(dǎo)是運算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導(dǎo)，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù);對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)先化為和或差形式;多項式的積的求導(dǎo)，先展開再求導(dǎo)等等。
命題角度 2導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用
1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_________.
[考場錯解] 填2 由曲線y=x3在點(1，1)的切線斜率為1，∴切線方程為y-1==x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S=×2×2=2。
[專家把脈] 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點處的切線斜率等于函數(shù)在這點處的導(dǎo)數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。
[對癥下藥] 填?！?3x2 當x=1時f’(1)=3.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(1，1)處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立得交點(2，4)。又y=3x-2與x軸交于(，0)?！嗳龡l直線所圍成的面積為S=×4×(2-)=。
2.設(shè)t≠0,點P(t,0)是函數(shù)=x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。(1)用t表示a、b、c;(2)若函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1，3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。
[考場錯解] (1)∵函數(shù)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).∴f(t)=g(t)t3+at=bt2+c. ①又兩函數(shù)的圖像在點P處有相同的切線，∴f’(t)=g’(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3.
[專家把脈] 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由①、②兩式是不可用t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數(shù)有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準確的，準確的結(jié)論應(yīng)是f(t)=0，即t3+at=0，因為t≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在(t,0)處有相同的切線，
所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2·t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3
(2)解法1 y=-g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).
當y’=(3x+t)(x-t)<0時,函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。 由y’<0,若t<0,則t
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