教案是教師為順利而有效地開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)大綱和教科書(shū)要求及學(xué)生的實(shí)際情況，以課時(shí)或課題為單位，對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)步驟、教學(xué)方法等進(jìn)行的具體設(shè)計(jì)和安排的一種實(shí)用性教學(xué)文書(shū)。接下來(lái)是小編為大家整理的有關(guān)高三數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)大全，希望大家喜歡!

　　有關(guān)高三數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)大全一

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　(i)知識(shí)目標(biāo)：

　　(1)掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.

　　(2) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.

　　(ii)能力目標(biāo)：

　　(1) 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用平面向量積解決相關(guān)問(wèn)題的能力.

　　(2) 正確運(yùn)用向量運(yùn)算律進(jìn)行推理、運(yùn)算.

　　教學(xué)重點(diǎn)： 1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

　　2. 用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

　　教學(xué)難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用.

　　?教學(xué)過(guò)程：

　　一、知識(shí)梳理

　　1.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量| || |cos(叫 與 的數(shù)量積，記作 ( ，即 ( = | || |cos(， 并規(guī)定 與任何向量的數(shù)量積為0

　　2.平面向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 ( 等于 的長(zhǎng)度與 在 方向上投影| |cos(的乘積.

　　3.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè) 、 為兩個(gè)非零向量， 是與 同向的單位向量

　　1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0

　　3(當(dāng) 與 同向時(shí)， ( = | || |;當(dāng) 與 反向時(shí)， ( = (| || | ，特別地 ( = | |2

　　4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |

　　4.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

　?、?交換律： ( = ( ② 數(shù)乘結(jié)合律：( )( = ( ( ) = (( )

　　③ 分配律：( + )( = ( + (

　　5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

　?、僖阎獌蓚€(gè)向量 ， ，則 .

　?、谠O(shè) ，則 .

　?、燮矫鎯?nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 如果表示向量 的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

　　、 ，那么 .

　?、芟蛄看怪钡呐卸?兩個(gè)非零向量 ， ，則 .

　?、輧上蛄繆A角的余弦 cos( = ( ).

　　二、典型例題

　　1. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

　　例題1 已知下列命題：

　?、?; ② ; ③ ; ④

　　其中正確命題序號(hào)是 ②、④ .

　　點(diǎn)評(píng)： 掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律.

　　例題2 已知 ; (2) ;(3) 的夾角為 ，分別求 .

　　解(1)當(dāng) 時(shí)， = 或 = .

　　(2)當(dāng) 時(shí)， = .

　　(3)當(dāng) 的夾角為 時(shí)， = .

　　變式訓(xùn)練：已知 ，求

　　解： =

　　點(diǎn)評(píng)： 熟練應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義式求值，注意兩個(gè)向量夾角的確定及分類完整.

　　2.夾角問(wèn)題

　　例題3 若 ，且 ，則向量 與向量 的夾角為 ( )

　　A. B. C. D.

　　解：依題意 故選C

　　變式訓(xùn)練1：① 已知 ，求向量 與向量 的夾角.

　?、?已知 ， 夾角為 ，則 .

　　解： ① ，故夾角為 .

　?、谝李}意得 .

　　變式訓(xùn)練2：已知 是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿足 ，求 的夾角.

　　法一 解：將 兩邊平方得 ，

　　則 ， 故 的夾角.為 .

　　法二： 數(shù)形結(jié)合

　　點(diǎn)評(píng)：注意兩個(gè)向量夾角共起點(diǎn)，靈活應(yīng)用兩個(gè)向量夾角的兩種求法.

　　3.向量模的問(wèn)題

　　例題4 已知向量 滿足 ，且 的夾角為 ，求 .

　　解： ，且 的夾角為;

　　變式訓(xùn)練 ：

　?、?2005年湖北)已知向量 ，若 不超過(guò)5，則 的取值范圍 ( )

　　A. B. C. D.

　?、?2006年福建) 已知 的夾角為 ， ， ，則 等于( )

　　A 5 B. 4 C. 3 D. 1

　　解： ① ， 故選C

　　② ， ，解得 ，故選B

　　點(diǎn)評(píng)：涉及向量模的問(wèn)題一般利用 ，注意兩邊平方是常用的方法.

　　4.平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

　　例題5 已知向量 .

　　若 ; (2)求 的最大值 .

　　解：(1)若 ，則 ， .

　　(2) = =

　　， 的最大值為 .

　　例題6已知向量 ，且 滿足 ，

　　求證 ; (2)將 與 的數(shù)量積表示為關(guān)于 的函數(shù) ;

　　(3)求函數(shù) 的最小值及取得最小值時(shí)向量 與向量 的夾角 .

　　解：(1)，

故

　　(2) ，

　　故 .

　　有關(guān)高三數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)大全二

　　2.3.1向量數(shù)量積的物理背景與定義

　　教材說(shuō)明

　　平面向量數(shù)量積具有代數(shù)與幾何的雙重性質(zhì)，因此所涉及的內(nèi)容較為廣泛，如方程、不等式等代數(shù)問(wèn)題;夾角、距離、面積、平行、垂直等幾何問(wèn)題。

　　平面向量數(shù)量積是數(shù)學(xué)中知識(shí)與能力的載體，是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要工具之一，值得一提的是在教材的后續(xù)兩章的學(xué)習(xí)中，對(duì)三角函數(shù)內(nèi)容中某些問(wèn)題的處理都是借助向量的數(shù)量積來(lái)解決的，這正體現(xiàn)了平面向量數(shù)量積的工具性，在解決代數(shù)與幾何問(wèn)題中都有著很強(qiáng)的實(shí)用性。

　　課型 新授課

　　課時(shí) 1課時(shí)(練習(xí) 共2課時(shí))

　　學(xué)情分析

　　在學(xué)平面向量數(shù)量積之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了平面向量的概念、向量的線性運(yùn)算及向量的基本定理與坐標(biāo)表示等有關(guān)內(nèi)容，這為過(guò)渡到本節(jié)的學(xué)習(xí)起了鋪墊作用;在后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)中，是據(jù)此內(nèi)容用向量代數(shù)方法進(jìn)一步研究了平面圖形的有關(guān)性質(zhì)。

　　本節(jié)以力對(duì)物體做功作為背景，研究平面向量的數(shù)量積。但是，學(xué)生作為初學(xué)者不清楚向量數(shù)量積是數(shù)量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當(dāng)然，以及對(duì)運(yùn)算律的理解和平面向量的數(shù)量積的靈活應(yīng)用。通過(guò)情景創(chuàng)設(shè)、探究和思考引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知、理解并掌握相關(guān)的內(nèi)容。利用向量數(shù)量積運(yùn)算討論一些幾何元素的位置關(guān)系、距離和角，這些刻畫(huà)幾何元素(點(diǎn)、線、面)之間度量關(guān)系的基本量學(xué)生容易混淆。利用數(shù)量積運(yùn)算來(lái)反映向量的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量間夾角的關(guān)系解決問(wèn)題，是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)又是難點(diǎn)。由向量的線性運(yùn)算遷移、引申到向量的乘法運(yùn)算這是個(gè)很自然的過(guò)渡，深入淺出、符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也有利于明確本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望。

　　教學(xué)內(nèi)容分析

　　教學(xué)的主要內(nèi)容：以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運(yùn)算與物理知識(shí)聯(lián)系起來(lái);向量數(shù)量積與向量的長(zhǎng)度及夾角的關(guān)系;進(jìn)一步探究?jī)蓚€(gè)向量的夾角對(duì)數(shù)量積符號(hào)的影響及有關(guān)的性質(zhì)、幾何意義和運(yùn)算律。

　　教材的編寫(xiě)的特點(diǎn)：本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修4》(B版)第二章、第3節(jié)第1課時(shí)。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問(wèn)題的一個(gè)重要工具。?

　　教學(xué)目標(biāo)

　　知識(shí)與技能：

　　(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;

　　(2)掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算;

　　(3)能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系.

　　過(guò)程與方法：

　　通過(guò)向量的線性運(yùn)算及多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的對(duì)照，強(qiáng)化學(xué)生的類比思想

　　情感態(tài)度與價(jià)值觀：

　　通過(guò)數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律的靈活應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì);用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角;平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究及應(yīng)用.

　　難點(diǎn)：難點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積的定義及對(duì)運(yùn)算律的探究、理解;平面向量數(shù)量積的靈活應(yīng)用。

　　教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)

　　《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生樂(lè)于參與到探索性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，這是新課程數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求?！陡咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》還明確提出了提高學(xué)生的知識(shí)與技能、重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程與方法，培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度、價(jià)值觀的三維目標(biāo)。為此，結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)中注重過(guò)程、方法，注重引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)去看書(shū)，不斷提出問(wèn)題，研究問(wèn)題，并解決問(wèn)題。重視在師生，生生互動(dòng)、交流的過(guò)程中滲透情感態(tài)度與價(jià)值觀。

　　教學(xué)資源與手段

　　資源：三角板，彩粉筆，電腦，多媒體。

　　手段：通過(guò)師生互動(dòng)，共同探討生成新知，更加有助于學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。

　　教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

　　教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)過(guò)程 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖

　　情景引入 1、給出有關(guān)材料并提出問(wèn)題

　　問(wèn)題1： 表示一個(gè)么角?

　　SHAPE MERGEFORMAT

　　(1)如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功： 。

　　(2)這個(gè)公式有什么特點(diǎn)?請(qǐng)完成下列填空：

　?、賅(功)是 量，②F(力)是 量，

　?、跾(位移)是 量，④ 是 。

　　(3)你能用文字語(yǔ)言表述“功的計(jì)算公式”嗎?答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積

　　提問(wèn)

　　學(xué)生易答：表示力 的方向與位移 的方向的夾角

　　創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的問(wèn)題情景，將學(xué)生自然的帶入到課堂的教學(xué)內(nèi)容中來(lái)。

　　探究問(wèn)題

　　形成定義

　　(1)探究?jī)蓚€(gè)向量的夾角的定義。

　　問(wèn)題2：你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎?

　　問(wèn)題3：對(duì)于兩個(gè)非零向量 ，你能給出它們夾角的定義嗎?

　　問(wèn)題4：思考向量夾角的范圍

　　問(wèn)題5： 表示什么?

　　SHAPE MERGEFORMAT

　　(2)探究向量 在 方向上的投影

　　問(wèn)題6：對(duì)于兩個(gè)非零向量 ，向量 在向量 方向上的投影為什么?你能從圖中作出 在 方向上的投影嗎?

　　(3)探究 與 的數(shù)量積.

　　問(wèn)題7：F(力)是 量， S(位移)是 量，W(功)是 量

　　定義：

　　叫做 與 的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作： .

　　即： = 。(板書(shū)三)

　　問(wèn)題8：向量數(shù)量積的運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同?

　　若 是非零向量，設(shè)夾角為θ，完成下表：

　　夾角θ的范圍的符號(hào)

　　問(wèn)題9：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積 =

　　的幾何意義如何? (板書(shū)四)

　　問(wèn)題10：請(qǐng)同學(xué)們用一句話來(lái)概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積

　　(板書(shū)五)

　?、佗冖蹖W(xué)生容易得到，④學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)兩種答案，教師給予指導(dǎo)

　　學(xué)生思考回答，教師予以補(bǔ)充，關(guān)鍵是點(diǎn)出兩向量起點(diǎn)相同，并給出夾角符號(hào)

　　有了問(wèn)題2的鋪墊，學(xué)生容易得出0 ，

　　教師強(qiáng)調(diào)同向時(shí)為0，反向時(shí)為π.

　　教師補(bǔ)充：

　　(1)當(dāng)

　　= 時(shí)，向量 與向量 互相垂直，記作 .

　　(2)在討論垂直問(wèn)題時(shí)規(guī)定：零向量與任一向量垂直.

　　生答：力F在位移方向上的分量

　　師補(bǔ)充：我們把 稱為力F在位移S方向上的投影

　　師生共作向量 在 方向上的投影圖象。

　　對(duì)上述物理意義下的“功”概念進(jìn)行抽象，將公式中的力與位移推廣到一般向量 與 。

　　怎么來(lái)規(guī)定

　　有關(guān)高三數(shù)學(xué)平面向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計(jì)大全三

　　平面向量的數(shù)量積教案

　　考綱要求：掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直問(wèn)題，掌握向量垂直的條件.

　　高考預(yù)測(cè)：(1)客觀題---- 考查數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運(yùn)算律，難度較低.

　　(2)主觀題---以平面向量的數(shù)量積為工具，考查其綜合應(yīng)用，多與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式聯(lián)系，難度中等.

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　(i)知識(shí)目標(biāo)：

　　(1)掌握平面向量數(shù)量積的概念、幾何意義、性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.

　　(2) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.

　　(ii)能力目標(biāo)：

　　(1) 培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用平面向量積解決相關(guān)問(wèn)題的能力.

　　(2) 正確運(yùn)用向量運(yùn)算律進(jìn)行推理、運(yùn)算.

　　教學(xué)重點(diǎn)： 1. 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.

　　2. 用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

　　教學(xué)難點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用.

　　教 具：多媒體.

　　教材教法分析：

　　本節(jié)課是高三第一輪平面向量數(shù)量積復(fù)習(xí)課，重點(diǎn)掌握平面向量數(shù)量積及幾何意義.用數(shù)量積求夾角、距離及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.滲透化歸思想以及數(shù)形結(jié)合思想.

　　?教學(xué)過(guò)程：

　　一、追溯

　　(修改：這部分屬知識(shí)點(diǎn)回顧，既然是高三復(fù)習(xí)課，可把相關(guān)知識(shí)點(diǎn)以填空的形式展示出來(lái)。一方面可要求不主動(dòng)學(xué)習(xí)的學(xué)生完成必要的任務(wù)，另一方面也把知識(shí)的重點(diǎn)部分展現(xiàn)在所有學(xué)生面前。)

　　1.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數(shù)量| || |cos(叫 與 的數(shù)量積，記作 ( ，即 ( = | || |cos(， 并規(guī)定 與任何向量的數(shù)量積為0

　　2.平面向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 ( 等于 的長(zhǎng)度與 在 方向上投影| |cos(的乘積.

　　3.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè) 、 為兩個(gè)非零向量， 是與 同向的單位向量

　　1( ( = ( =| |cos(; 2( ( ( ( = 0

　　3(當(dāng) 與 同向時(shí)， ( = | || |;當(dāng) 與 反向時(shí)， ( = (| || | ，特別地 ( = | |2

　　4(cos( = ; 5(| ( | ≤ | || |

　　4.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

　　① 交換律： ( = ( ② 數(shù)乘結(jié)合律：( )( = ( ( ) = (( )

　?、?分配律：( + )( = ( + (

　　5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

　　①已知兩個(gè)向量 ， ，則 .

　?、谠O(shè) ，則 .

　　③平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 如果表示向量 的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

　　、 ，那么 .

　?、芟蛄看怪钡呐卸?兩個(gè)非零向量 ， ，則 .

　　⑤兩向量夾角的余弦 cos( = ( ).

　　二、典型例題

　　1. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

　　例題1 已知下列命題：

　?、?; ② ; ③ ; ④

　　其中正確命題序號(hào)是 ②、④ .

　　點(diǎn)評(píng)： 掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運(yùn)算律不同于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律.

　　例題2 已知 ; (2) ;(3) 的夾角為 ，分別求 .

　　解(1)當(dāng) 時(shí)， = 或 = .

　　(2)當(dāng) 時(shí)， = .

　　(3)當(dāng) 的夾角為 時(shí)， = .

　　變式訓(xùn)練：已知 ，求

　　解： =

　　點(diǎn)評(píng)： 熟練應(yīng)用平面向量數(shù)量積的定義式求值，注意兩個(gè)向量夾角的確定及分類完整.

　　2.夾角問(wèn)題

　　例題3 (2005年北京)若 ，且 ，則向量 與向量 的夾角為 ( )

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